Strisce con una sola faccia

Cosa imparerà

• Che una superficie può avere una sola faccia e un solo bordo, e a verificarlo con un pennarello e con il dito.
• A prevedere e poi verificare: annotare cosa si pensa che succederà prima di ogni taglio.
• Che il numero di mezzi giri (0, 1, 2, 3) decide il risultato del taglio: due anelli separati, uno lungo, due concatenati o un nodo.
• Vocabolario di topologia: faccia, bordo, concatenato, nodo.

Prepara prima

• Stampa la sagoma al 100 % (senza «adatta alla pagina»): ogni striscia deve misurare 30 × 260 mm.
• Per un gruppo, stampa le strisce su carta di 2 colori diversi per la striscia A e la striscia B: così non si confondono.
• Prepara una tabella alla lavagna con tre colonne: «tipo di striscia», «cosa penso che succederà?» e «cosa è successo?».
• Taglia in anticipo pezzi di nastro da 4 cm e attaccali al bordo del tavolo perché i bambini li abbiano a portata di mano.

Materiali e attrezzi

• Carta — 1–2 fogli A4
  carta da 80 g, meglio di colore chiaro, o carta kraft sottile
• Nastro adesivo trasparente — ≈ 40 cm
  largo 19 mm; un pezzo di 4 cm per ogni lato di ogni giuntura
• Pennarelli — 2
  di due colori diversi, punta media
• Quaderno o foglio A4 — 1
  per annotare previsioni e risultati

Attrezzi

• Forbici a punta arrotondata — ritagliare le strisce e tagliare gli anelli
• Righello — verificare la larghezza di 30 mm e misurare gli anelli
• Metro a nastro da sarta — misurare la circonferenza di ogni anello prima e dopo il taglio

Pezzi e sagome

• A · Striscia A: anello normale (senza giro) ×1 — carta 80 g
• B · Striscia B: Möbius (mezzo giro) ×2 — carta 80 g
• C · Striscia C: giro intero (due mezzi giri) ×1 — carta 80 g
• D · Striscia D: tre mezzi giri (sfida) ×1 — carta 80 g

Passo passo

1. Ritaglia le strisce

   Ritaglia le 5 strisce della sagoma (A, due B, C e D) lungo la linea continua. Ognuna è larga 30 mm e lunga 260 mm; i primi 10 mm sono la zona da incollare.

   Verifica: Misurane una con il righello: 30 × 260 mm.

2. Fai l'anello normale

   Prendi la striscia A. Unisci le due estremità senza girarla, sovrapponendo la fine sulla zona da incollare di 10 mm. Incolla con un pezzo di nastro da 4 cm all'esterno e un altro all'interno, per tutta la larghezza.

   Verifica: È un anello di ≈ 8 cm di diametro; la linea centrale si vede all'esterno.

3. Colora l'anello normale

   Appoggia la punta del pennarello sulla faccia esterna e traccia una linea continua per tutta la lunghezza, girando l'anello, fino a tornare al punto di partenza. Guarda all'interno: non è colorato. Ha due facce.

4. Fai il nastro di Möbius

   Prendi una striscia B. Avvicina le estremità come prima, ma gira una delle due di mezzo giro (180°), in modo che la faccia superiore di un'estremità resti incollata alla faccia inferiore dell'altra. Incolla con il nastro su entrambi i lati.

   Verifica: Il nastro ha una «torsione» e non si può appiattire come un anello.
   Trucco: Trucco: la parola INCOLLA della zona da incollare deve restare a faccia in giù, coperta dall'altra estremità.

5. Prevedi prima di colorare

   Prima di colorare, chiedi e annota sul quaderno: «Se traccio una linea al centro del nastro B senza sollevare il pennarello, colorerò una sola faccia o tutte e due?».

6. Colora il nastro di Möbius

   Appoggia il pennarello sulla linea centrale e avanza senza sollevarlo, girando il nastro con l'altra mano. Dopo un giro non sarai tornato all'inizio, ma ti troverai «dall'altra parte». Continua fino a ritrovare il punto di partenza: avrai fatto due giri.

   Verifica: Tutto il nastro, su «entrambe le facce», risulta colorato senza attraversare nessun bordo: ha una sola faccia.

7. Percorri il bordo

   Metti il dito sul bordo del nastro B e fallo scorrere senza staccarlo. Poi ripeti con l'anello A. In A percorri un bordo e l'altro resta intatto; in B tocchi tutto il bordo: ne ha uno solo.

8. Taglia a metà l'anello normale

   Pizzica l'anello A sulla linea centrale perché si pieghi un po' e fai un piccolo taglio con la punta delle forbici. Infila le forbici e taglia seguendo la linea fino alla fine.

   Verifica: Vengono fuori due anelli separati, larghi 15 mm e con la stessa circonferenza (≈ 25 cm).

9. Taglia a metà il Möbius

   Fai lo stesso con il nastro B lungo la sua linea centrale (quella a 15 mm). Prima, annota la tua previsione. Segui la linea senza uscirne per un giro intero fino ad arrivare al taglio iniziale.

   Verifica: Viene fuori UN solo nastro, largo 15 mm e con ≈ 50 cm di circonferenza (il doppio), con due giri completi. Non è più un Möbius: ha due facce.

10. Taglialo di nuovo a metà

    Taglia ancora al centro il nastro lungo che hai ottenuto (lascia circa 7,5 mm per lato). Prima annota cosa pensi che succederà.

    Verifica: Vengono fuori due nastri uguali di ≈ 50 cm, concatenati tra loro (non si possono separare senza romperli).

11. Taglia a un terzo

    Prendi la seconda striscia B e incollala con mezzo giro. Taglia seguendo la linea a 10 mm dal bordo. Vedrai che dopo un giro il taglio non incontra il suo inizio: continua e fa due giri prima di chiudersi.

    Verifica: Vengono fuori due nastri concatenati: uno corto (≈ 25 cm, è un altro Möbius, la fascia centrale) e uno lungo (≈ 50 cm, con due giri).

12. Prova il giro intero e il nodo

    Incolla la striscia C con un giro intero (360°) e tagliala a metà: vengono fuori due anelli di ≈ 25 cm agganciati. Incolla la striscia D con tre mezzi giri e tagliala a metà: viene fuori un solo anello lungo con un nodo.

    Trucco: Prima di incollare la D, conta ad alta voce: mezzo, uno, uno e mezzo.

Funziona? La prova

Fai la tabella delle previsioni con i 6 tagli (A a metà, B a metà, B due volte, B a un terzo, C a metà e D a metà) e verifica ciascuno misurando la circonferenza con il metro a nastro.

Cosa deve succedere: A → 2 anelli separati da 25 cm. B a metà → 1 anello da 50 cm. B due volte → 2 anelli da 50 cm concatenati. B a un terzo → 1 da 25 cm (Möbius) concatenato con 1 da 50 cm. C → 2 anelli da 25 cm concatenati. D → 1 anello da 50 cm annodato.

Se qualcosa non va

• Tagliando il Möbius vengono fuori due anelli — È stato incollato senza mezzo giro o con un giro intero. Soluzione: Prima di tagliare verifica che il pennarello percorra tutta la striscia su «entrambe le facce» senza sollevarlo; se no, non è un Möbius.
• La giuntura si stacca durante il taglio — Nastro su un solo lato o pezzo troppo piccolo. Soluzione: Incolla con 4 cm di nastro all'esterno e all'interno, per tutta la larghezza, prima di tagliare.
• Il taglio esce dal bordo — Forbici grandi o striscia stropicciata. Soluzione: Usa forbici piccole, taglia piano tenendo la striscia vicino alle forbici e segui la linea stampata.
• Tagliando a un terzo torna all'inizio dopo un giro — Sei passato sulla linea centrale. Soluzione: Resta sempre a 10 mm dal bordo; il taglio fa due giri prima di chiudersi.
• Non si vede se i nastri sono concatenati — Restano aggrovigliati e schiacciati. Soluzione: Tieni un nastro e lascia pendere l'altro: se non cade a terra, sono concatenati.

Sicurezza

• Forbici a punta arrotondata per i minori di 8 anni; per forare e iniziare il taglio, l'aiuto di un adulto.
• I tagli da carta fanno male: non passare il dito velocemente sul bordo della striscia.
• Raccogli i ritagli di nastro adesivo: i bambini piccoli se li mettono in bocca.

La scienza che c'è dietro

Per i bambini

Immagina una formica che cammina sull'anello normale: se va all'esterno, non arriva mai alla parte interna senza scavalcare il bordo. Sul nastro con mezzo giro, la formica cammina, cammina... e compare dall'altra parte senza scavalcare niente! Questo succede perché il nastro di Möbius ha una sola faccia, anche se sembra averne due. Per questo, quando lo tagli al centro, le forbici non lo dividono mai in due pezzi: seguono sempre lo stesso percorso e viene fuori un anello più lungo.

Per l'adulto

Il nastro di Möbius (Möbius e Listing, 1858) è una superficie non orientabile con una sola faccia e un solo bordo (il suo bordo è un'unica curva chiusa, di lunghezza doppia rispetto alla striscia). La topologia studia le proprietà che non cambiano deformando senza rompere né incollare: numero di facce, di bordi, concatenamenti e nodi. Tagliare lungo la linea centrale una banda con n mezzi giri: se n è pari (0, 2, 4...), la linea centrale è una curva chiusa che separa la banda in due bande, ciascuna con n mezzi giri e concatenate n/2 volte (per n = 0, separate). Se n è dispari, il taglio non separa: resta una sola banda di lunghezza doppia con 2n + 2 mezzi giri (per n = 1, quattro mezzi giri, cioè due giri completi, e orientabile); per n = 3 la banda risultante è annodata in un nodo a trifoglio. Tagliare il Möbius a un terzo della larghezza: il taglio fa due giri e separa la fascia centrale (un Möbius della lunghezza originale) da quella esterna (banda di lunghezza doppia con due giri), concatenate. Applicazione reale: nastri trasportatori e nastri di stampanti con mezzo giro distribuiscono l'usura su tutta la superficie.

• faccia: ciascun lato di una superficie che si può colorare senza attraversare un bordo.
• bordo: la linea dove finisce la superficie.
• topologia: parte della matematica che studia le forme che non cambiano quando le si stira o le si attorciglia senza romperle.
• concatenato: due anelli agganciati come gli anelli di una catena.
• mezzo giro: rotazione di 180°: ciò che sta sopra passa sotto.

Per età

• 5–7 anni: L'adulto incolla le giunture (con il mezzo giro) e inizia ogni taglio; il bambino colora con il pennarello, percorre il bordo con il dito e finisce il taglio. Bastano A e B: la sorpresa che «non si divide in due».
• 8–10 anni: Fanno tutte le strisce e la tabella delle previsioni. Che provino a spiegare con parole loro perché il pennarello colora «entrambe le facce».
• 11–12 anni: Che cerchino la regola generale (mezzi giri pari/dispari) con la tabella, misurino le circonferenze e provino il nodo a trifoglio (striscia D) e il quadrato magico. Sfida: prevedere cosa succede con 4 mezzi giri prima di provarlo.

In gruppo o in classe

Individuale o a coppie, ogni bambino con il suo foglio da 5 strisce e un pennarello. Prima: stampare una sagoma per bambino (più 5 di scorta) e tagliare in anticipo i pezzi di nastro. Sessione di 45 min: 5 min di presentazione con un anello normale, 10 min per colorare A e B, 15 min di tagli con la tabella delle previsioni alla lavagna (votazione per alzata di mano prima di ogni taglio), 15 min di esperimenti C e D e confronto finale.

Sfide

• Fai un nastro di Möbius gigante con strisce di carta di giornale incollate (2 m) e percorrilo con il dito a occhi chiusi: senti quando «cambi faccia»?
• Con due anelli incollati a croce e due tagli ottieni una cornice quadrata; poi ripeti con uno degli anelli con mezzo giro e descrivi la figura che viene fuori.
• Prevedi e verifica cosa viene fuori tagliando a metà una banda con 4 mezzi giri.
• Disegna la tua versione delle formiche di Escher su un nastro di Möbius largo 5 cm.

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