Copos de nieve y estrellas de papel

Qué va a aprender

• Que un copo de papel tiene simetría de 6: 360° ÷ 6 = 60° entre brazos, y cada brazo es igual a ambos lados de su eje, por eso basta con dibujar una cuña de 30° (la mitad de un brazo).
• Que plegar un cuadrado en diagonal, por la mitad y en tercios lo convierte en 12 capas iguales: lo que cortas una vez se repite 12 veces, 6 normales y 6 en espejo.
• Qué es un eje de simetría y cómo encontrarlo: el copo tiene 6 (uno por brazo y otro entre cada dos brazos) y la estrella de 5 puntas tiene 5.
• Por qué los copos de nieve de verdad tienen 6 brazos: las moléculas de agua se ordenan en el hielo formando anillos de 6, como un panal de abejas.
• Que dos piezas planas con una ranura hasta la mitad se encajan en cruz y forman un objeto 3D, y que un pliegue en monte y otro en valle dan relieve a una lámina plana.

Prepara antes

• Imprime las plantillas al 100 % («tamaño real») y comprueba con la regla que el cuadrado de 50 mm mide 50 mm. La guía G y las 4 cuñas de copo caben en 1–2 hojas de folio; las estrellas E, F y R, en 2 hojas que puedes imprimir directamente en cartulina si tu impresora la admite.
• Recorta tú antes las cuñas A–D por el contorno exterior para los más pequeños: así solo tienen que recortar las zonas grises.
• Ten a mano papel más fino (60–70 g o papel de seda) para los copos de nivel 3 y 4: con 12 capas de folio normal las muescas finas cuestan mucho.
• Si vas a colgar la guirnalda, mide antes el hueco (ventana, estantería o puerta) y corta el hilo 30 cm más largo para los nudos.
• Despeja una mesa grande y deja un libro pesado preparado para aplanar los copos recién desplegados.

Materiales y herramientas

• Folios blancos — 4–6 (uno por copo y alguno de prueba)
  A4 de 80 g como máximo (el de impresora normal); para los copos de nivel 3 y 4 va mejor papel de 60–70 g o papel de seda
• Folio para imprimir las plantillas — 2–3
  A4 normal; la guía G y las cuñas A–D se recortan y se usan como patrón
• Cartulina amarilla o dorada — 2 hojas A4 (o 4 medias hojas)
  160–200 g, para la estrella encajada (E y F) y la estrella en relieve (R × 2)
• Hilo — ≈ 2 m
  de coser grueso, de lana fina, bramante o cordel de cocina; 1,5 m para la guirnalda y trozos de 20 cm para colgar cada pieza
• Barra de pegamento — 1
  para pegar las plantillas a la cartulina, las dos estrellas R y los copos en la ventana (se quita con agua tibia)
• Cola blanca — ≈ 5 ml
  una gota en el cruce de la estrella encajada para que no gire
• Cinta adhesiva — ≈ 30 cm
  transparente de 19 mm o de carrocero, para colgar sin agujerear y fijar el hilo de la guirnalda a la pared
• Clips de papelería — 2
  medianos, para que las 12 capas no se muevan al recortar

Herramientas

• Tijeras escolares de punta redonda — recortar el cuadrado, las plantillas y las 12 capas de los copos A y B
• Tijeras pequeñas de punta fina (de manualidades o de uñas rectas) — las muescas finas de los copos C y D y las ranuras de la estrella adulto
• Lápiz blando (HB o 2B) y goma — calcar la plantilla sobre la cuña plegada y marcar los tercios
• Regla de 20–30 cm — marcar los tercios con la guía G y medir las ranuras
• Bolígrafo sin tinta — marcar los pliegues de la estrella en relieve para que doblen rectos
• Aguja lanera de punta roma o punzón — abrir el agujero de 2 mm de la estrella y pasar el hilo por las puntas de los copos adulto

Piezas y plantillas

• P · Cuadrado de papel para cada copo ×4 — papel 60–80 g
• G · Guía para doblar en tercios (30°) ×1 — papel (folio)
• A · Copo nivel 1 · Estrella de hielo ×1 — papel (folio)
• B · Copo nivel 2 · Copo de ramas ×1 — papel (folio)
• C · Copo nivel 3 · Copo de encaje ×1 — papel (folio)
• D · Copo nivel 4 · Dendrita (helecho) ×1 — papel (folio)
• E · Estrella encajada: pieza con ranura arriba ×1 — cartulina 160–200 g
• F · Estrella encajada: pieza con ranura abajo ×1 — cartulina 160–200 g
• R · Estrella en relieve (plegada) ×2 — cartulina 160 g o papel de 120 g

Paso a paso

1. Saca un cuadrado de 21 cm de un folio

   Dobla una esquina del folio hasta que el borde corto (210 mm) quede justo encima del borde largo. Pasa la uña por el pliegue y recorta con tijeras la tira de 87 mm que sobra por abajo. No abras el triángulo: el pliegue diagonal ya es el primero de los tres que necesitas.

   Comprueba: Al abrirlo tienes un cuadrado de 210 × 210 mm con un pliegue en diagonal de esquina a esquina.
   Truco: Si el folio es de 60–70 g o de papel de seda, el copo saldrá más fácil de recortar: haz de papel fino los de nivel 3 y 4.

2. Dobla el triángulo por la mitad

   Con el triángulo doblado y el pliegue largo abajo, lleva la punta de la izquierda sobre la de la derecha y aplasta el pliegue nuevo con la uña. Queda un triángulo más pequeño con una esquina de 90°: esa esquina es el centro del cuadrado y será el centro del copo.

   Comprueba: El triángulo tiene dos lados de 148 mm que forman un ángulo recto y 4 capas de papel. En la esquina recta no asoma ningún borde suelto.

3. Marca los tercios con la guía G

   Recorta la guía G. Pon encima el triángulo doblado con la esquina del centro en O y los dos lados doblados sobre los lados rectos de la guía. Marca con lápiz en el borde suelto los 2 puntos rojos: así divides el ángulo de 90° en 3 partes de 30°.

   Comprueba: Las dos marcas quedan en el borde largo, a ≈ 77 mm de cada esquina aguda y separadas ≈ 56 mm entre ellas.
   Truco: Sujeta el triángulo con dos dedos en la esquina O para que no se mueva al marcar.

4. Dobla en tercios: 12 capas de 30°

   Dobla hacia delante la parte de la izquierda, por la línea que va de la esquina del centro a la primera marca. Después dobla hacia atrás la parte de la derecha, por la línea que va al otro punto. Ajusta hasta que los dos bordes doblados queden exactamente encima de los de la parte del medio y aplasta con la uña.

   Comprueba: Tienes una cuña estrecha con una punta de 30° (como una porción de pizza pequeña), de 12 capas, y por arriba sobresalen dos picos de papel: es normal, se recortan.
   Truco: Primero dobla sin marcar y ajusta mirando los bordes; cuando coincidan, aplasta. Si te sale torcido, vuelve a abrir solo los tercios y repite.

5. Prepara la plantilla del copo A

   Recorta la cuña A por su contorno exterior y después recorta las 3 zonas grises: el trozo grande de arriba y las 2 muescas en V. Te queda una plantilla blanca con la forma de medio brazo del copo. Guárdala: sirve para hacer muchos copos iguales.

   Comprueba: La plantilla tiene la punta O abajo, un lado recto largo a la izquierda (el eje del brazo) y otro lado recto a 30°.
   Truco: Recorta las muescas en V con dos tijeretazos que se juntan en el fondo de la V.

6. Calca la plantilla sobre la cuña plegada

   Pon la plantilla encima de la cuña de papel con la punta O justo en la esquina del centro y sus dos lados rectos sobre los dos bordes doblados. Sujétala con un dedo y repasa con lápiz todo el borde de la plantilla. Quita la plantilla y sujeta las 12 capas con 2 clips por las zonas que vas a tirar.

   Comprueba: Ves en el papel el dibujo de la plantilla: la línea va del borde del eje al borde de 30° y no deja ningún hueco sin cerrar.

7. Recorta las 12 capas a la vez

   Recorta por la línea de lápiz empezando por el corte grande de arriba (quita los picos que sobresalen) y sigue con las muescas: cada V con 2 tijeretazos que se juntan en el fondo. Mete el papel hasta el fondo de las tijeras, donde cortan con más fuerza, y gira el papel, no las tijeras.

   Comprueba: Las muescas tienen el fondo cortado del todo: al tirar suavemente del trocito, sale solo, sin rasgarse.
   Truco: Con niños de 5–7 años, recorta tú las 12 capas y que ellos hagan el plegado y el calcado. Si el papel no se deja, recorta despacio en tramos de 1 cm.

8. Despliega y aplana el copo

   Abre el papel despacio, deshaciendo los pliegues en orden contrario: primero los tercios, luego la mitad y por último la diagonal. Pon el copo entre dos hojas y deja encima un libro pesado 10 minutos para que quede plano.

   Comprueba: Tienes una estrella de 6 puntas de ≈ 19 cm, con un rombo en cada brazo, 6 rombos alrededor del centro y una muesca a cada lado de las puntas. Los 6 brazos son iguales.
   Truco: Si se ha roto un brazo, pégalo por detrás con un trocito de cinta adhesiva: no se nota.

9. Sube de nivel: copos B, C y D

   Repite los pasos 1–8 con las plantillas B (ramas), C (encaje) y D (dendrita), en ese orden, cada una más fina que la anterior. En el C, corta también la punta de la cuña 6 mm: al desplegar sale un agujero hexagonal en el centro. En el D usa papel de seda o de 60 g y tijeras de punta fina.

   Comprueba: Cada copo tiene 6 brazos iguales con sus ramas a 60° del brazo. Si algún brazo tiene una rama de menos, la tijera no llegó al fondo en esa capa: repásala con el copo plegado.
   Truco: En las ramas finas, corta primero el lado de abajo de cada hueco y luego el de arriba: el trozo sale entero.

10. Recorta las dos estrellas E y F

    Pega las plantillas E y F en la cartulina amarilla con barra de pegamento y recórtalas por el contorno. Corta las ranuras de 2 mm: en E desde la punta de arriba hacia abajo 49 mm; en F desde el vértice de abajo hacia arriba 49 mm. Haz dos cortes paralelos y quita la tira con un corte en el fondo.

    Comprueba: Las dos ranuras acaban justo pasado el centro de cada estrella y miden lo mismo (49 mm).
    Truco: Corta las ranuras con las tijeras de punta fina; si cuesta, que un adulto las haga con cúter y regla.

11. Encaja la estrella 3D adulto

    Coge F con la ranura hacia abajo y E con la ranura hacia arriba, cruzadas en ángulo recto. Baja F sobre E metiendo una ranura en la otra hasta que las dos puntas de arriba queden a la misma altura. Pon una gota de cola blanca en el cruce. Pasa un hilo de 20 cm por el agujero de F con la aguja y anúdalo.

    Comprueba: Vista desde arriba, la estrella forma una cruz (+). Al colgarla, gira sola con el aire y se ve 3D desde cualquier lado.
    Truco: El agujero de 2 mm lo abre el adulto con el punzón o la aguja lanera, sobre un trozo de cartón.

12. Pliega la estrella en relieve

    Recorta las dos estrellas R de cartulina. Repasa con la regla y el bolígrafo sin tinta las 10 líneas que salen del centro. Dobla hacia atrás (monte) las 5 líneas rojas que van a las puntas y hacia delante (valle) las 5 verdes que van a los vértices interiores. Empuja el centro desde detrás.

    Comprueba: Apoyada en la mesa, la estrella se sostiene sobre sus 5 puntas y el centro queda ≈ 1 cm más alto.
    Truco: Dobla primero cada punta por la mitad a lo largo, como un tejado, y después aprieta los valles juntando las puntas hacia el centro.

13. Une las dos estrellas en relieve

    Pon una estrella R boca abajo, coloca un hilo de 25 cm cruzándola de la punta de arriba al centro y pon cola de barra en las 5 puntas y en el centro. Pega encima la otra estrella R boca arriba, con las puntas alineadas, y aprieta cada punta 10 segundos.

    Comprueba: La estrella tiene relieve por las dos caras, las 5 puntas coinciden y el hilo sale por la punta de arriba.

14. Monta la guirnalda o decora la ventana

    Para la guirnalda, ata un hilo de 1,5 m entre dos puntos y cuelga los copos y las estrellas cada 20 cm, con un nudo o un trozo de cinta adhesiva en la punta de un brazo. Para la ventana, pon un toque de barra de pegamento en el centro y en 3 puntas de cada copo y pégalo en el cristal.

    Comprueba: Los copos cuelgan rectos y no se tocan entre sí al moverse con el aire.
    Truco: Alterna copos y estrellas y pon los copos grandes en el centro de la guirnalda, donde cuelga más bajo. El pegamento de barra se quita del cristal con un paño húmedo y agua tibia.

¿Funciona? La prueba

Pon los 4 copos desplegados encima de la guía de simetría del diagrama (o de un plato) y gíralos de 60° en 60°. Después coloca un espejo pequeño de pie sobre cada línea de pliegue. Cuelga la estrella encajada con su hilo y sopla suavemente.

Qué debe pasar: Cada copo tiene 6 brazos iguales: al girarlo 60° (un sexto de vuelta) se ve exactamente igual, 6 veces por vuelta. Con el espejo apoyado en cualquiera de los 12 pliegues que salen del centro, medio copo más su reflejo forman el copo entero: tiene 6 ejes de simetría. La estrella encajada gira sola y desde cualquier lado se ven al menos 3 puntas en relieve.

Si algo falla

• Al abrirlo, 3 brazos salen más grandes que los otros 3 o el centro no está en medio — Los tercios no eran iguales (uno de más de 30°) o la esquina del centro no coincidía con O al marcar. Solución: Marca los tercios otra vez con la guía G sujetando la esquina O con el dedo, y antes de aplastar comprueba que los dos bordes doblados quedan uno encima del otro.
• El copo se deshace en trozos al desplegarlo — Un corte llegó de un lado de la cuña al otro, o dos muescas se juntaron y separaron un brazo. Solución: Deja siempre al menos 3 mm de papel entre dos cortes y no cortes nunca la línea del eje de lado a lado. Si ya pasó, pega los trozos por detrás con cinta adhesiva.
• Al abrirlo, algunos agujeros solo están en unas capas y en otras hay papel — La tijera no llegó al fondo de la muesca en las capas de abajo, o el papel es demasiado grueso para 12 capas. Solución: Vuelve a plegar el copo y repasa el fondo de cada muesca. Para los niveles 3 y 4 usa papel de 60–70 g o de seda y tijeras pequeñas de punta fina.
• Sale un copo de 4 u 8 puntas en vez de 6 — Se dobló el triángulo pequeño por la mitad otra vez (en cuartos de 45°) en lugar de en tercios. Solución: Después del paso 2 no dobles más por la mitad: usa la guía G para dividir el ángulo de 90° en 3 partes de 30°.
• El papel se rasga o se arruga al recortar — Folio de más de 80 g o tijeras que no cortan bien 12 capas. Solución: Usa papel más fino, sujeta las capas con 2 clips y corta con la parte de las tijeras más cercana al tornillo, abriendo y cerrando del todo.
• La estrella encajada no entra o se dobla al encajarla — Ranuras más estrechas que la cartulina o más cortas de 49 mm. Solución: Ensancha las ranuras a 2–3 mm y alárgalas hasta 1 mm pasado el centro de la estrella. Las dos juntas deben sumar un poco más que la altura del eje (97 mm).
• La estrella en relieve no se levanta o queda torcida — Pliegues sin marcar o algún monte y valle cambiados. Solución: Repasa las 10 líneas con el bolígrafo sin tinta y comprueba que las 5 que van a las puntas doblan hacia atrás y las 5 que van a los vértices interiores, hacia delante.
• Los copos se caen del cristal — Poca barra de pegamento o cristal frío y húmedo. Solución: Seca el cristal, pon pegamento en el centro y en 3 puntas, y aprieta 10 segundos. También puedes usar un bucle de cinta adhesiva por detrás.

Seguridad

• Las tijeras de punta fina y la aguja lanera o el punzón los usa un adulto, o el niño con un adulto al lado: para las muescas de los niveles 3 y 4 y para el agujero de la estrella, siempre sobre un trozo de cartón.
• Corta siempre con la mano que sujeta el papel apartada de la línea de corte, y girando el papel, no las tijeras.
• Nunca cuelgues la guirnalda cerca de velas, chimeneas, estufas o bombillas que calientan: el papel arde muy deprisa. Si quieres luz, usa una guirnalda de LED, que apenas calienta, y no dejes que el papel la toque.
• Con niños menores de 3 años cerca, recoge los recortes pequeños de papel y los clips: se pueden meter en la boca.
• No pegues copos en cristales con calefacción o junto a un radiador encendido, ni en ventanas que se abren sobre la calle si el niño tiene que asomarse para pegarlos: lo hace un adulto.

La ciencia detrás

Para los niños

Cuando doblas el papel en 12 capas y haces un solo corte, ese corte aparece 12 veces: 6 veces como lo hiciste y 6 veces dado la vuelta, como en un espejo. Por eso tu copo tiene 6 brazos iguales. La nieve de verdad también tiene 6 brazos, y es por culpa del agua: el agua está hecha de pedacitos diminutos llamados moléculas, con forma de boomerang. Cuando hace mucho frío, esos pedacitos se agarran unos a otros formando anillos de 6, como las celdas de un panal de abejas. Por eso un copo empieza siendo un hexágono pequeñito, y sus 6 esquinas crecen y se convierten en los 6 brazos.

Para el adulto

Simetría: el copo de papel tiene la simetría del grupo diédrico D6, con 12 operaciones: 6 giros (0°, 60°, 120°, 180°, 240° y 300°, porque 360° ÷ 6 = 60°) y 6 reflexiones respecto a 6 ejes (3 que pasan por los brazos y 3 que pasan entre ellos). Una región fundamental de D6 es una cuña de 30° (60° ÷ 2): al plegar el cuadrado en diagonal (2 capas), por la mitad (4 capas, ángulo de 90° en el centro) y en tercios (3 × 4 = 12 capas de 30°), cada capa es una copia de la cuña, y las capas contiguas están unidas por un pliegue, que actúa como espejo. Un corte en la cuña aparece, pues, 12 veces: 6 directas y 6 especulares. Por eso basta con diseñar medio brazo, y por eso las muescas que tocan un pliegue dan agujeros simétricos (rombos) al desplegar. Si se pliega en cuartos de 45° (8 capas) sale D4: 4 u 8 puntas, que la nieve nunca tiene. El radio útil del copo es 100 mm porque en un cuadrado de 210 mm el punto del borde más cercano al centro está a 105 mm. Por qué la nieve tiene 6 brazos: la molécula de agua es angular (ángulo H–O–H de 104,5°) y en el hielo normal (hielo Ih) cada oxígeno se une por puentes de hidrógeno a 4 vecinos en disposición casi tetraédrica (≈ 109,5°). Esa red, vista según el eje c del cristal, forma anillos de 6 moléculas: la celda es hexagonal, y el cristal elemental es un prisma hexagonal con 2 caras basales y 6 caras de prisma. Un copo nace cuando el vapor de agua se deposita directamente como hielo sobre una partícula en una nube sobreenfriada. Las 6 esquinas del prisma sobresalen hacia el aire con más vapor y crecen más deprisa que el centro de las caras (inestabilidad de ramificación): de ahí salen 6 brazos, y de los brazos, ramas a 60°, siempre paralelas a las direcciones de la red. Los 6 brazos se parecen porque crecen a la vez, en el mismo aire y a la misma temperatura, pero no son idénticos. La forma depende de la temperatura y de la humedad (diagrama de Nakaya): placas hacia −2 °C y entre −10 y −20 °C, agujas y columnas hacia −5 °C y por debajo de −22 °C, y las estrellas ramificadas (dendritas, como el copo D) hacia −15 °C con mucha humedad. Un copo real mide de 1 a 5 mm (las dendritas grandes, hasta ≈ 10 mm); los nuestros son unas 40 veces más grandes. Estrellas: la estrella regular de 5 puntas tiene simetría D5 (5 ejes y giros de 72°), puntas de 36° y la relación r/R = 0,382 entre el radio de los vértices interiores y el de las puntas (1/φ², con φ el número áureo). La estrella encajada se monta con 2 ranuras que llegan cada una 1 mm más allá de la mitad del eje común (97 mm): al cruzarse, cada pieza sujeta a la otra, el mismo principio que los separadores de cartón de las cajas de botellas. La estrella en relieve aprovecha que alrededor del centro el papel suma 360°: alternando 5 pliegues en monte y 5 en valle, el papel no puede seguir plano y se convierte en una pirámide plisada, más rígida que la lámina plana.

• simetría: cuando una figura se ve igual después de girarla o de mirarla en un espejo
• eje de simetría: línea que parte una figura en dos mitades que son reflejo una de la otra; el copo tiene 6 y la estrella de 5 puntas, 5
• molécula: el trocito más pequeño de una sustancia, como el agua, que sigue siendo esa sustancia
• hexágono: figura de 6 lados; los ángulos de un hexágono regular son de 120° y sus esquinas están cada 60° alrededor del centro
• cristal: sólido en el que las moléculas están ordenadas en una red que se repite, como el hielo, la sal o el azúcar
• pliegue en monte y en valle: en monte el papel se dobla hacia atrás y forma una cresta; en valle, hacia delante y forma un surco

Por edades

• 5–7 años: El adulto saca el cuadrado, marca los tercios y recorta las 12 capas. El niño dobla la diagonal y la mitad, calca la plantilla A, despliega el copo (el momento estrella) y cuenta los brazos y los agujeros. Haced solo los copos A y B y la estrella encajada con las ranuras ya cortadas. Céntrate en «un corte, 12 veces» y en contar de 6 en 6.
• 8–10 años: Hacen todo salvo el agujero de la estrella. Que predigan dibujando cómo será el copo antes de abrirlo y que comprueben con el espejo los 6 ejes. Reto: copos A, B y C y diseñar uno propio en una cuña de 30° en blanco.
• 11–12 años: Que calculen los ángulos (360 ÷ 6, ÷ 12, la punta de 36° de la estrella), expliquen con el diagrama por qué el hielo es hexagonal y hagan el copo D con papel de seda. Reto: diseñar en papel milimetrado una plantilla de copo con ramas a 60° y comprobar que no se rompe al desplegar; calcular la longitud de las ranuras para una estrella de otro tamaño.

En grupo o en clase

Para 20–25 niños, por parejas o individual (es barato: 1 folio por copo y media cartulina por estrella). Antes: imprime 1 guía G por pareja y las plantillas A–D (una hoja con las 4 cuñas por pareja), recorta en cartulina las estrellas E, F y R para los más pequeños y prepara cuadrados de 210 mm. Sesión de 60–75 min: 10 min de demostración (doblar en directo y desplegar un copo hecho), 25 min de copos A y B, 20 min de estrellas por estaciones (una mesa de estrella encajada, otra de relieve) y 10 min para montar una guirnalda de clase con un copo de cada niño. Ten varias tijeras de punta fina para la mesa del adulto y deja el nivel 4 para quien acabe antes.

Retos

• Diseña tu propio copo: dibuja en una cuña de 30° en blanco (calca el contorno de la plantilla A) una forma con muescas que toquen los dos bordes, sin cortar de lado a lado. Antes de recortarlo, dibuja cómo crees que será desplegado.
• Haz copos pequeños para la guirnalda: con un cuadrado de 105 mm (un cuarto de folio) y las plantillas impresas al 50 %, sale un copo de ≈ 10 cm.
• Imita un copo real: busca una foto de un copo de nieve al microscopio, dibuja medio brazo en la cuña de 30° y recórtalo. ¿Cuánto más grande es el tuyo que el de verdad?
• Haz una estrella encajada más grande, de 100 mm del centro a las puntas: calcula el radio de los vértices interiores (× 0,382), el largo del eje (punta de arriba a vértice de abajo) y cada ranura (la mitad del eje + 1 mm). Comprueba que encaja.
• Copos de ventana translúcidos: hazlos con papel de horno o papel vegetal y pégalos en el cristal: de día se ven blancos y por la noche, con la luz de dentro encendida, se ven desde la calle.

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